Lý thuyết và bài tập mẫu thuật toán (Prime) cây bao trùm cài đặt C/C++

Bài toán tìm cây bao trùm nhỏ nhất là một trong những bài toán tối ưu trên đồ thị có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của thực tế. Bài toán được phát biểu như sau:
Cho G=<V, E>là đồ thị vô hướng liên thông với tập đỉnh V = {1, 2,..., n }và tập cạnh E gồm m cạnh. Mỗi cạnh e của đồ thị được gán với một số không âm c(e) được gọi là độ dài của nó. Giả sử H=<V, T>là một cây bao trùm của đồ thị G. Ta gọi độ dài c(H) của cây bao trùm H là tổng độ dài các cạnh: c(H) = SUM(c(e)). Bài toán được đặt ra là, trong số các cây khung của đồ thị hãy tìm cây khung có độ dài nhỏ nhất của đồ thị.

Để minh họa cho những ứng dụng của bài toán này, chúng ta có thể tham khảo hai mô hình thực tế của bài toán.

Bài toán nối mạng máy tính. Một mạng máy tính gồm n máy tính được đánh số từ 1, 2,..., n. Biết chi phí nối máy i với máy j là c[i, j], i, j = 1, 2,..., n. Hãy tìm cách nối mạng sao cho chi phí là nhỏ nhất.

Bài toán xây dựng hệ thống cable. Giả sử ta muốn xây dựng một hệ thống cable điện thoại nối n điểm của một mạng viễn thông sao cho điểm bất kỳ nào trong mạng đều có đường truyền tin tới các điểm khác. Biết chi phí xây dựng hệ thống cable từ điểm i đến điểm j là c[i,j]. Hãy tìm cách xây dựng hệ thống mạng cable sao cho chi phí là nhỏ nhất.

Để giải bài toán cây bao trùm nhỏ nhất, chúng ta có thể liệt kê toàn bộ cây bao trùm và chọn trong số đó một cây nhỏ nhất. Phương án như vậy thực sự không khả thi vì số cây bao trùm của đồ thị là rất lớn cỡ n^n-2, điều này không thể thực hiện được với đồ thị với số đỉnh cỡ chục.

Để tìm một cây bao trùm chúng ta có thể thực hiện theo các bước như sau:

• Bước 1.Thiết lập tập cạnh của cây bao trùm là φ. Chọn cạnh e = (i, j)có độ dài nhỏ nhất bổ sung vào T.

• Bước 2. Trong số các cạnh thuộc E \ T, tìm cạnh e = (i1, j1)có độ dài nhỏ nhất sao cho khi bổ sung cạnh đó vào T không tạo nên chu trình. Để thực hiện điều này, chúng ta phải chọn cạnh có độ dài nhỏ nhất sao cho hoặc i1∈Tvà j1∉T, hoặc j1∈Tvà i1∉T

• Bước 3. Kiểm tra xem T đã đủ n-1 cạnh hay chưa? Nếu T đủ n-1 cạnh thì nó chính là cây bao trùm ngắn nhất cần tìm. Nếu T chưa đủ n-1 cạnh thì thực hiện lại bước 2. 

Ví dụ. Tìm cây bao trùm nhỏ nhất của đồ thị trong hình:

Bước 1. Đặt T=φ. Chọn cạnh (3, 5) có độ dài nhỏ nhất bổ sung vào T.

Buớc 2. Sau ba lần lặp đầu tiên, ta lần lượt bổ sung vào các cạnh (4,5), (4, 6). Rõ ràng, nếu bổ sung vào cạnh (5, 6) sẽ tạo nên chu trình vì đỉnh 5, 6 đã có mặt trong T. Tình huống tương tự cũng xảy ra đối với cạnh (3, 4) là cạnh tiếp theo của dãy. Tiếp đó, ta bổ sung hai cạnh (1, 3), (2, 3) vào T.

Buớc 3. Tập cạnh trong T đã đủ n-1 cạnh: T={ (3, 5), (4,6), (4,5), (1,3), (2,3)} chính là cây bao trùm ngắn nhất.

Chương trình cài đặt:

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <dos.h>

#define MAX 50

#define TRUE 1

#define FALSE  0

int E1[MAX], E2[MAX], D[MAX], EB[MAX], V[MAX];

/*  E1  :  Lưu trữtập đỉnh

đầu của các cạnh;

E2  : Lưu trữtập đỉnh cuối của các cạnh;

D  : Độdài các cạnh;

EB  : Tập cạnh cây bao trùm ;

V  : Tập đỉnh của đồthịcũng là tập đỉnh của cây bao trùm;

*/

int i, k, n, m, sc, min, dai;

FILE *fp;

void Init(void){

 fp = fopen("BAOTRUM.IN", "r");

 if (fp == NULL){

  printf("\n Khong co file Input");

  getch(); return;

 }

 fscanf(fp, "%d%d", &n, &m);

 printf("\n So dinh do thi:%d", n);

 printf("\n So canh do thi:%d", m);

 printf("\n Danh sach canh:");

 for (i = 1; i <= m; i++){

  fscanf(fp, "%d%d%d", &E1[i], &E2[i], &D[i]);

  printf("\n%4d%4d%4d", E1[i], E2[i], D[i]);

 }

 fclose(fp);

 for (i = 1; i <= m; i++) EB[i] = FALSE;

 for (i = 1; i <= n; i++) V[i] = FALSE;

}

void STREE_SHORTEST(void){

 /* Giai đoạn 1 của thuật toán là tìm cạnh k có độdài nhỏnhất*/

 min = D[1]; k = 1;

 for (i = 2; i <= m; i++) {

  if (D[i] < min){

   min = D[i]; k = i;

  }

 }

 /* Kết nạp cạnh k vào cây bao trùm*/

 EB[k] = TRUE; V[E1[k]] = TRUE; V[E2[k]] = TRUE; sc = 1;

 do {

  min = 32000;

  for (i = 1; i <= m; i++){

   if (EB[i] == FALSE && (

    ((V[E1[i]]) && (V[E2[i]] == FALSE)) ||

    ((V[E1[i]] == FALSE) && (V[E2[i]] == TRUE)))

    && (D[i] < min)){

    min = D[i]; k = i;

   }

  }

  /* Tìm k là cạnh nhỏnhất thỏa mãn điều kiện nếu kết nạp

  cạnh vào cây sẽkhông tạo nên chu trình*/

  EB[k] = TRUE; V[E1[k]] = TRUE; V[E2[k]] = TRUE; sc = sc + 1;

 } while (sc != (n - 1));

}

void Result(void){

 printf("\n Cay bao trum:");

 dai = 0;

 for (i = 1; i <= m; i++){

  if (EB[i]){

   printf("\n Canh %4d %4d dai %4d", E1[i], E2[i], D[i]);

   dai = dai + D[i];

  }

 }

 printf("\n Do dai cay bao trum:%d", dai);

}

void main(void){

 Init();

 STREE_SHORTEST();

 Result();

 getch();

}